库伦作用无尽期,动量蒙卡寄相思

白石道人姜夔,南宋词人,一生布衣游食四方,存词只有80余首,不算高产(虽然他21岁写下的《扬州慢·淮左名都》入选中学语文课本,诸君可以想想自己21岁时在做什么)。但在他43岁那年的正月里,情感不知为何受到了大的扰动,爆发似的一口气写下一组五首《鹧鸪天》(准确地说是从正月初一到正月十六,从第一首《鹧鸪天.丁巳元日》到第五首 《鹧鸪天·十六夜出》),曲折地追怀自己生命中一段年轻的爱情,五首皆为精品。43岁在今天仍是青年(比如现在很多地方青年以45岁为限),而古人已自视为老年了。可是就在彼时,潦倒的老词人被内心中深埋的情感所激励,创造出如许优美的文字,其中隐隐的心跳,急促的呼吸,升高的血压与强忍的失眠和泪,更升华到对于美好情感的普适追求,八百年后读之仍然鲜活。

当然,我们这里不是诗词鉴赏栏目,我们只谈对于生命中美好事物的追求。且看其中第四首:

《鹧鸪天·元夕有所梦》

肥水东流无尽期,当初不合种相思。梦中未比丹青见,暗里忽惊山鸟啼。
春未绿,鬓先丝,人间别久不成悲。谁教岁岁红莲夜,两处沉吟各自知。

头两句就是我们这篇文字题目的来源。姜夔在睡梦中追忆自己青年时的恋人,在我们后人看来,除了个人生活中的伤情,这好似淡漠的句子中其实寄托着人生绵绵不绝的悲凉、久违和一再错过的沧桑,是普适的人类情感和人生体验。词人通过他的艺术,对于困厄现实进行了美的升华,也让自己在对于美好事物的追求中,超越个体的悲欢。这才是艺——也包括科学—— 让一代代人前赴后继的动力:让我们从个体的悲欢起,超脱到人类的悲欢止,这追求本身,就是寄托。

书归正题,最近有五个人完成了一项凝聚态物理学的研究工作,承蒙编辑部和 Referee 的支持,发表在最近一期的Chinese Physics Letter [1]。

文章发展了动量空间量子蒙特卡洛算法,处理转角石墨烯等二维量子材料中涌现出的长程库伦相互作用问题。长程的库伦相互作用,是关联电子系统中长期以来的普遍性难题之一(所以也就有意思,有它的美妙之处),比如量子霍尔效应或者分数量子霍尔效应这样的二维系统,电子之间存在的就是长程库伦相互作用。对于这样的系统,幸好有 Laughlin 猜出的波函数,作为很多情况下的理论极限,让人们有可以下手的地方,否则真是望费米海而兴叹了。而从量子多体问题严格数值计算的角度出发,发展出具有普适性、系统性的解决方案的尝试,一直没有成功。与具有短程相互作用(屏蔽之后)的 Hubbard 模型、海森堡模型等问题中量子蒙卡、张量网络大显身手不断取得进展相比,具有长程库伦相互作用的二维关联电子系统的数值求解,一直没有方法上的突破,显得寂寞和冷清。

近几年来,随着转角石墨烯,过渡金属二硫化物等更加优异的二维关联量子材料的出现,尤其是这些材料中也观察到了关联绝缘体、超导等短程相互作用材料(如高温超导)和模型(如 Hubbard 模型)中常见的典型量子多体物态(见文献 [2]),如何求解长程库伦相互作用,如何发展出像严格求解实空间短程相互作用的 Hubbard 模型的行列式量子蒙特卡洛算法等问题,就又被大家提起和关注。人们都知道,要想求解长程相互作用,需要走向动量空间。这是因为在实空间中,无论如何扩大截断范围,仍是短程相互作用,而与扩大截断范围所伴随的计算复杂度的增长,很快就会超出目前计算能力的极限。问题是,谁能成功地走出第一步,成功地在动量空间的相互作用模型中发展出量子蒙特卡洛算法,得到正确的结果,为后续的进展指出方向。

图1. (a) 转角石墨烯的布里渊区和摩尔布里渊区,以及动量空间蒙卡所处理的摩尔布里渊区和有限的动量传递。(b), (c) 动量空间蒙卡有限晶格计算所得的单粒子能隙与严格解的对比。(图片来自文献 [1])

这篇文章就是回应这普适追求的一个尝试,只是起步,得到了一点有益的结果。我们发现采用动量空间的转角石墨烯有效模型,考虑长程库伦相互作用(投影到平带),在一些参数范围内可以用行列式量子蒙特卡洛方法严格求解,也从数学上证明了算法可以有效工作的原因(术语叫如何避免符号问题)。具体的推导和结果,感兴趣的同学和专家可以深入文章 [1],与已知的严格结论的 benchmark 对比,在图1中展示。当然这只是开始,还有太多需要完善的地方,比如如何考虑材料中实际的能带效应,如何在动量空间中计算不同的物理可观测量等。这些具有普遍意义的问题就是吸引着从业人员不断追求下去的动力。

“库伦作用无尽期,动量蒙卡寄相思”,一如八百年前的姜白石,正是这对于具有普适意义的科学问题的追求,给了我们超越个体悲欢的寄托,推动着领域前进。

参考文献:

[1] Momentum space quantum Monte Carlo on twisted bilayer Graphene
Xu Zhang, Gaopei Pan, Yi Zhang, Jian Kang, Zi Yang Meng
Chin. Phys. Lett. 38, 077305 (2021) Express Letters

[2] 转角石墨烯的三昧,物理, 2021, 50(5): 348-352,https://mp.weixin.qq.com/s/bwy6beaE7gILl6RAVqqZFQ

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