蒙卡部分
对于稳态分布 $\pi(i)$，我们有细致平衡条件：
\[\begin{equation}
\pi(i) Q(i, j) \alpha(i, j)=\pi(j) Q(j, i) \alpha(j, i)
\end{equation}\]
\pi(i) Q(i, j) \alpha(i, j)=\pi(j) Q(j, i) \alpha(j, i)
\end{equation}\]
其中 $Q(i, j)$ 表示从 $i$ 尝试跳往 $j$ 的概率，$\alpha(i, j)$ 为相应的接收概率。我们通常选择：
\[\begin{equation}
\alpha(i, j)=\min \left\{\frac{\pi(j) Q(j, i)}{\pi(i) Q(i, j)}, 1\right\}
\end{equation}\]
\alpha(i, j)=\min \left\{\frac{\pi(j) Q(j, i)}{\pi(i) Q(i, j)}, 1\right\}
\end{equation}\]
大多数情况下， $ Q(i, j)= Q(j,i)$ 。如经典Ising模型的Metropolis中，每个构型的权重 $\propto e^{-\beta E}$，接收概率为 $\min \left\{e^{-\beta \Delta E}, 1\right\}$。
统计部分
对于经典模型，我们有配分函数：
\[\begin{equation}Z=\sum_{\sigma} e^{-\beta E_{\sigma}}\end{equation}\]
物理量：
\[\begin{equation}\langle O\rangle=\frac{1}{Z} \sum_{C} O e^{-\beta E_{C}}\end{equation}\]
对于量子系统，配分函数：
\[\begin{equation}Z=\operatorname{Tr}\left\{e^{-\beta H}\right\}\end{equation}\]
选一组basis：
\[\begin{equation}Z=\sum_{\{\phi\}}\left\langle\{\phi\}\left|e^{-\beta H}\right|\{\phi\}\right\rangle\end{equation}\]
物理量：
\[\begin{equation}\langle O\rangle=\frac{\operatorname{Tr}\left\{O e^{-\beta H}\right\}}{Z}\end{equation}\]
Trotter分解
\[
\begin{equation}\begin{aligned}
Z &=\operatorname{Tr}\left[e^{-\beta H}\right] \\
&=\operatorname{Tr}\left[(e^{-\Delta \tau H_I} e^{-\Delta \tau H_0})^{L_{\tau}} \right] \\
&=\operatorname{Tr}\left[e^{-\Delta \tau H_I} e^{-\Delta \tau H_0} \ldots e^{-\Delta \tau H_I} e^{-\Delta \tau H_0}\right] +\mathcal{O}\left[(\Delta \tau)^{2}\right]
\end{aligned}
\end{equation}\]
\begin{equation}\begin{aligned}
Z &=\operatorname{Tr}\left[e^{-\beta H}\right] \\
&=\operatorname{Tr}\left[(e^{-\Delta \tau H_I} e^{-\Delta \tau H_0})^{L_{\tau}} \right] \\
&=\operatorname{Tr}\left[e^{-\Delta \tau H_I} e^{-\Delta \tau H_0} \ldots e^{-\Delta \tau H_I} e^{-\Delta \tau H_0}\right] +\mathcal{O}\left[(\Delta \tau)^{2}\right]
\end{aligned}
\end{equation}\]
其中 $L_\tau =\frac{\beta}{\Delta \tau}$