DQMC Note 1:复习

蒙卡部分

对于稳态分布 $\pi(i)$,我们有细致平衡条件:

\[\begin{equation}
\pi(i) Q(i, j) \alpha(i, j)=\pi(j) Q(j, i) \alpha(j, i)
\end{equation}\]

其中 $Q(i, j)$ 表示从 $i$ 尝试跳往 $j$ 的概率,$\alpha(i, j)$ 为相应的接收概率。我们通常选择:

\[\begin{equation}
\alpha(i, j)=\min \left\{\frac{\pi(j) Q(j, i)}{\pi(i) Q(i, j)}, 1\right\}
\end{equation}\]

大多数情况下, $ Q(i, j)= Q(j,i)$ 。如经典Ising模型的Metropolis中,每个构型的权重 $\propto e^{-\beta E}$,接收概率为 $\min \left\{e^{-\beta \Delta E}, 1\right\}$。

统计部分

对于经典模型,我们有配分函数:

\[\begin{equation}Z=\sum_{\sigma} e^{-\beta E_{\sigma}}\end{equation}\]

物理量:

\[\begin{equation}\langle O\rangle=\frac{1}{Z} \sum_{C} O e^{-\beta E_{C}}\end{equation}\]

对于量子系统,配分函数:

\[\begin{equation}Z=\operatorname{Tr}\left\{e^{-\beta H}\right\}\end{equation}\]

选一组basis:

\[\begin{equation}Z=\sum_{\{\phi\}}\left\langle\{\phi\}\left|e^{-\beta H}\right|\{\phi\}\right\rangle\end{equation}\]

物理量:

\[\begin{equation}\langle O\rangle=\frac{\operatorname{Tr}\left\{O e^{-\beta H}\right\}}{Z}\end{equation}\]
Trotter分解
\[
\begin{equation}\begin{aligned}
Z &=\operatorname{Tr}\left[e^{-\beta H}\right] \\
&=\operatorname{Tr}\left[(e^{-\Delta \tau H_I} e^{-\Delta \tau H_0})^{L_{\tau}} \right] \\
&=\operatorname{Tr}\left[e^{-\Delta \tau H_I} e^{-\Delta \tau H_0} \ldots e^{-\Delta \tau H_I} e^{-\Delta \tau H_0}\right] +\mathcal{O}\left[(\Delta \tau)^{2}\right]
\end{aligned}
\end{equation}\]

其中 $L_\tau =\frac{\beta}{\Delta \tau}$